Алексей Мешков родился 22 августа 1959 в Москве. 
    В 1981 окончил Московский государственный институт международных отношений (МГИМО) МИД СССР. 
    В 1981-1986 занимал должности дежурного референта, атташе, третьего секретаря Посольства СССР в Испании.
    В 1986-1992 – третий, второй, затем первый секретарь, заведующий отделом Управления научно-технического сотрудничества.
    В 1992 был назначен первым секретарем, затем советником, старшим советником Посольства России в Испании.
    В 1997-1998 – заместитель Директора Департамента общеевропейского сотрудничества.
    В 1999 был назначен начальником Управления внешнеполитического планирования, затем в ноябре 2000 г. после преобразования управления в департамент министерства стал директором Департамента внешнеполитического планирования и по должности вошел в состав коллегии МИД.
    С сентября 2001 – заместитель министра иностранных дел РФ.  
    29 июля 2002 был присвоен ранг чрезвычайного и полномочного посланника 1 класса.
    9 марта 2004 в соответствии с указом президента РФ “О системе и структуре федеральных органов исполнительной власти”, Министерство иностранных дел  было сохранено в системе федеральных органов. Количество  заместителей министра  было сокращено до шести человек. Мешков свой пост не сохранил.

Затем – посол РФ в Италии.

С 26 декабря 2012 – заместитель министра иностранных дел РФ.

С 23 октября 2017 – посол РФ  во Франции и в Монако. Сменил на этом посту Александра Орлова.

        
      
    Чрезвычайный и полномочный посланника второго класса.
    Награжден орденом Дружбы.
    Владеет английским, итальянским и испанским языками.
    Женат, два сына и дочь.